Fibonacciho postupnosť: Ako nájsť čísla Fibonacciho

Fibonacciho postupnosť je vzorom čísel, ktoré sa v prírode opakujú.

Preskočiť na sekciu

• Čo je to Fibonacciho sekvencia?
• Pôvod Fibonacciho sekvencie
• Fibonacciho číselný vzorec
• Fibonacciho postupnosť a zlatý pomer
• Fibonacciho sekvencia v prírode
• Uč sa viac
• Viac informácií o MasterClass Neila deGrasse Tysona

Uznávaný astrofyzik Neil deGrasse Tyson vás učí, ako nájsť objektívne pravdy, a zdieľa svoje nástroje na komunikáciu toho, čo objavíte.

Čo je to Fibonacciho sekvencia?

Fibonacciho sekvencia je jedným z najznámejších vzorcov v teórii čísel a jednou z najjednoduchších celočíselných sekvencií definovaných vzťahom lineárnej rekurencie. Vo Fibonacciho postupnosti čísel je každé číslo v postupnosti súčtom dvoch čísel pred ním, pričom ako prvé dve čísla sú 0 a 1. Fibonacciho rad čísel začína takto: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 atď. Fibonacciho postupnosť je užitočná pre jej aplikácie v pokročilej matematike a štatistike, informatike, ekonómii a prírode.

ako sa stať umeleckým manažérom

Pôvod Fibonacciho sekvencie

Fibonacciho postupnosť sa prvýkrát objavila v starodávnych sanskrtských textoch už v roku 200 pred naším letopočtom, ale západnému svetu nebola táto postupnosť známa až do roku 1202, keď ju taliansky matematik Leonardo Pisano Bogollo publikoval vo svojej knihe výpočtov s názvom Liber Abaci . Leonardo prešiel aj prezývkou Leonardo z Pisy, ale až v roku 1838 mu historici dali prezývku Fibonacci (zhruba v preklade „syn Bonacciho“). Okrem popularizácie Fibonacciho sekvencie, Fibonacciho kniha Liber Abaci sa zasadzoval za použitie hinduisticko-arabských číslic (1, 2, 3, 4 atď.) a pomohol nahradiť rímsku číselnú sústavu (I, II, III, IV atď.) v celej Európe.

V Liber Abaci , Fibonacciho sekvencia sa skutočne použila na zodpovedanie hypotetického matematického problému týkajúceho sa rastu populácie králikov: Ak sa pár párov králikov pári na konci každého mesiaca, potom sa narodí nový pár králikov jeden mesiac po párení a všetky nové páry párov králiky sa riadia rovnakým vzorcom, koľko párov alebo králikov bude existovať za jeden rok? Tu je príklad, ako by ste začali odpovedať na tento problém:

• Začať s 1 pár králikov.
• Na konci prvého mesiaca ešte zostáva iba 1 pár králikov, pretože sa párili, ale ešte nerodili.
• Na konci druhého mesiaca sú dva páry králikov od prvého páru teraz splodili druhý pár.
• Na konci tretieho mesiaca existujú 3 páry králikov. Je to preto, že prvý pár splodil tretí pár, ale druhý pár sa iba páril.
• Na konci štvrtého mesiaca sú teraz 5 páry králikov. Je to tak preto, lebo prvý pár splodil ďalší pár a druhý pár teraz splodil svoj prvý pár.

Ako vidíte, tento vzor 1, 1, 2, 3, 5 sleduje Fibonacciho postupnosť. Ak budete pokračovať 12 mesiacov, počet párov sa bude rovnať 144.

Fibonacciho číselný vzorec

Na výpočet každého nasledujúceho Fibonacciho čísla v rade Fibonacci použite vzorec

kde 𝐹 je 𝑛. Fibonacciho číslo v poradí, a prvé dve čísla, 𝐹0 a 𝐹1, sú nastavené na 0, respektíve 1.

Jediným problémom tohto vzorca je, že ide o rekurzívny vzorec, čo znamená, že definuje každé číslo postupnosti pomocou predchádzajúcich čísel. Takže ak ste chceli vypočítať desiate číslo v poradí Fibonacciho, musíte najskôr vypočítať deviate a ôsme, ale na získanie deviateho čísla by ste potrebovali ôsme a siedme atď.

Ak chcete nájsť akékoľvek číslo v sekvencii Fibonacci bez ktoréhokoľvek z predchádzajúcich čísel, môžete použiť uzavretý výraz s názvom Binetov vzorec:

V Binetovom vzorci predstavuje grécke písmeno phi (φ) iracionálne číslo nazývané zlatý rez: (1 + √ 5) / 2, ktoré sa zaokrúhľuje na najbližšie tisíciny rovno 1,618.

Fibonacciho postupnosť a zlatý pomer

Zlatý rez (alebo zlatý rez) je iracionálne číslo, ktoré vznikne, keď je pomer dvoch čísel rovnaký ako pomer ich súčtu k väčšiemu z týchto dvoch čísel. Fibonacciho postupnosť je úzko spojená so zlatým rezom, pretože s nárastom Fibonacciho čísel sa pomer ľubovoľných dvoch po sebe idúcich Fibonacciho čísel čoraz viac približuje zlatému rezu.

MasterClass

Navrhnuté pre vás

Online kurzy vyučované tými najväčšími na svete. Rozšírte svoje vedomosti v týchto kategóriách.

Učí vedecké myslenie a komunikáciu

Učí zachovanie

Učí prieskum vesmíru

Učí vedu o lepšom spánku

keď je slnko vzadu za fotografom, je to známe ako čo?

Fibonacciho sekvencia v prírode

Myslite ako profesionál

Uznávaný astrofyzik Neil deGrasse Tyson vás učí, ako nájsť objektívne pravdy, a zdieľa svoje nástroje na komunikáciu toho, čo objavíte.

Existujú značné dezinformácie o tom, kde nájdete Fibonacciho postupnosť a zlatý rez v skutočnom svete; napriek tomu, čo sa dočítate, nebol zlatý pomer použitý na stavbu pyramíd v Gíze a mušle nautilus nerastú novými bunkami na základe Fibonacciho sekvencie.

Ale tieto matematické vlastnosti, ktoré sa skrývajú za Fibonacciho postupnosťou a zlatým rezom, sa v prírode objavujú mnohými spôsobmi. Napríklad zlatý rez nájdete v špirálovitom usporiadaní listov (nazývanom fylotaxis) na niektorých rastlinách alebo v zlatom špirálovitom vzore šišiek, karfiolu, ananásu a usporiadania semien v slnečnici. Počet okvetných lístkov na kvete je navyše zvyčajne Fibonacciho číslo.

Ďalej sa rodokmeň včelieho drona riadi sekvenciou Fibonacci. Je to preto, že mužský dron sa liahne z neoplodneného vajíčka a má iba jedného rodiča, zatiaľ čo včely samice majú dvoch rodičov. Výsledkom je rodokmeň dronu, ktorý sa skladá z jedného rodiča, dvoch prarodičov, troch praprarodičov, piatich pra-prarodičov atď. V celej sekvencii Fibonacci.

Uč sa viac

Dostať Ročné členstvo MasterClass za exkluzívny prístup k lekciám videa vyučovaným podnikateľskými a prírodovednými osobnosťami vrátane Neila deGrasse Tysona, Chrisa Hadfielda, Jane Goodallovej a ďalších.